Première · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°1 — Dérivation et variations

Ce devoir évalue la maîtrise du calcul de dérivées et l'étude des variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs de dérivées (6 points)

Pour chacune des fonctions suivantes, définies sur un intervalle approprié, calculez la fonction dérivée. 1. f(x) = 3x² - 5x + 2 2. g(x) = (2x - 1)(x + 3) 3. h(x) = (x³ + 1) / x, pour x ≠ 0 4. k(x) = √(x² + 1)

Exercice 2 — Étude des variations (8 points)

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5. 1. Calculez f'(x). 2. Étudiez le signe de f'(x) sur ℝ. Vous pourrez factoriser f'(x). 3. En déduire le tableau de variations complet de la fonction f sur ℝ. 4. Déterminez les extremums locaux de la fonction f.

Exercice 3 — Problème : tangente et approximation (6 points)

On considère la fonction f définie par f(x)=√x (pour x>0). 1. Calculez f'(x). 2. Déterminez une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point d'abscisse a=4. 3. En utilisant cette tangente, donnez une valeur approchée de √4,02. Justifiez votre raisonnement. 4. Comparez cette valeur approchée à la valeur exacte fournie par votre calculatrice. Que constatez-vous ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs de dérivées : 6 points

1. f'(x) = 6x - 5. 2. On développe d'abord : g(x) = 2x² + 6x - x - 3 = 2x² + 5x - 3, donc g'(x) = 4x + 5. 3. On utilise la formule (u/v)' = (u'v - uv')/v² avec u(x)=x³+1 et v(x)=x. u'(x)=3x², v'(x)=1. Donc h'(x) = (3x² * x - (x³+1)*1) / x² = (3x³ - x³ - 1)/x² = (2x³ - 1)/x². 4. k(x) = (x²+1)^(1/2). La dérivée de u^n est n*u'*u^(n-1). Ici, u(x)=x²+1, u'(x)=2x, n=1/2. Donc k'(x) = (1/2)*2x*(x²+1)^(-1/2) = x / √(x²+1).

Exercice 2 — Étude des variations : 8 points

1. f'(x) = 3x² - 6x - 9. 2. On factorise : f'(x) = 3(x² - 2x - 3). Le discriminant du trinôme est Δ = 4 + 12 = 16. Les racines sont x₁ = (2-4)/2 = -1 et x₂ = (2+4)/2 = 3. Donc f'(x) = 3(x+1)(x-3). Signe : f'(x) > 0 sur ]-∞; -1[ U ]3; +∞[ et f'(x) < 0 sur ]-1; 3[. 3. Tableau : x → -∞, -1, 3, +∞. f'(x) → +, 0, -, 0, +. f(x) → -∞, croît vers f(-1)=10, décroît vers f(3)=-22, puis croît vers +∞. 4. Maximum local : f(-1)=10. Minimum local : f(3)=-22.

Exercice 3 — Problème : tangente et approximation : 6 points

1. f(x)=x^(1/2), donc f'(x)=1/(2√x). 2. f(4)=2. f'(4)=1/(2*2)=1/4=0,25. Équation de T : y = f'(4)(x-4) + f(4) = 0,25(x-4) + 2. 3. Pour x=4,02, l'approximation affine est f(4,02) ≈ 0,25*(4,02-4) + 2 = 0,25*0,02 + 2 = 0,005 + 2 = 2,005. 4. La calculatrice donne √4,02 ≈ 2,004993... L'approximation 2,005 est très proche, l'erreur est d'environ 0,000007. La tangente fournit une bonne approximation locale.

Comprendre, puis réessayer

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