Première · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°3 — Trigonométrie et nombres complexes (forme algébrique)

Ce contrôle évalue les connaissances sur le cercle trigonométrique, les formules de base et l'introduction aux nombres complexes.

1h · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Cercle trigonométrique et résolution d'équations (8 points)

1. Placez sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels suivants : x₁ = π/6 ; x₂ = -π/3 ; x₃ = 3π/4 ; x₄ = 13π/6. 2. Résolvez dans ℝ les équations suivantes : a) cos(x) = √2 / 2 b) sin(x) = -1/2 3. Résolvez dans ℝ l'équation 2cos²(x) - 3cos(x) + 1 = 0. On pourra poser X = cos(x).

Exercice 2 — Nombres complexes : forme algébrique (7 points)

On pose z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 - i et z₃ = -2i. Calculez et donnez le résultat sous la forme algébrique a + ib (a, b réels) : 1. z₁ + z₂ 2. z₁ * z₂ 3. Le conjugué de z₂, noté ̅z₂. 4. z₁ * ̅z₂ 5. (z₁)² 6. 1 / z₂ (c'est-à-dire l'inverse de z₂).

Exercice 3 — Problème : module et interprétation géométrique (5 points)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O; u, v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives : z_A = 1 + 3i ; z_B = 4 - i ; z_C = -2 + 2i. 1. Calculez les affixes des vecteurs AB et AC. 2. Calculez les distances AB et AC. Rappel : |z| = √(a²+b²) pour z=a+ib. 3. Calculez l'affixe du milieu I du segment [BC]. 4. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifiez votre réponse à l'aide d'un calcul sur les affixes.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Cercle trigonométrique et résolution d'équations : 8 points

1. x₁ (π/6) : premier quadrant. x₂ (-π/3) équivaut à 5π/3, quatrième quadrant. x₃ (3π/4) : deuxième quadrant. x₄ (13π/6 = 2π + π/6) : même point que π/6. 2. a) cos(x)=√2/2 ⇔ x = π/4 + 2kπ ou x = -π/4 + 2kπ, k∈ℤ. b) sin(x)=-1/2 ⇔ x = -π/6 + 2kπ ou x = π - (-π/6) + 2kπ = 7π/6 + 2kπ, k∈ℤ. 3. Posons X=cos(x). L'équation devient 2X² - 3X + 1 = 0. Δ=9-8=1. X₁=(3-1)/4=1/2 et X₂=(3+1)/4=1. Si cos(x)=1/2, alors x = π/3 + 2kπ ou x = -π/3 + 2kπ. Si cos(x)=1, alors x = 2kπ. Solutions dans ℝ : x = 2kπ ; x = π/3 + 2kπ ; x = -π/3 + 2kπ, avec k∈ℤ.

Exercice 2 — Nombres complexes : forme algébrique : 7 points

1. z₁+z₂ = (3+2i)+(1-i) = 4 + i. 2. z₁*z₂ = (3+2i)(1-i) = 3*1 + 3*(-i) + 2i*1 + 2i*(-i) = 3 - 3i + 2i - 2i² = 3 - i - 2*(-1) = 3 - i + 2 = 5 - i. 3. ̅z₂ = conjugué de (1 - i) = 1 + i. 4. z₁ * ̅z₂ = (3+2i)(1+i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i + 2*(-1) = 1 + 5i. 5. (z₁)² = (3+2i)² = 9 + 2*3*2i + (2i)² = 9 + 12i + 4i² = 9 + 12i - 4 = 5 + 12i. 6. 1/z₂ = 1/(1-i). On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué : 1/(1-i) = (1*(1+i)) / ((1-i)(1+i)) = (1+i) / (1² - i²) = (1+i) / (1 - (-1)) = (1+i) / 2 = 1/2 + (1/2)i.

Exercice 3 — Problème : module et interprétation géométrique : 5 points

1. z_{AB} = z_B - z_A = (4-i) - (1+3i) = 3 - 4i. z_{AC} = z_C - z_A = (-2+2i) - (1+3i) = -3 - i. 2. AB = |z_{AB}| = √(3² + (-4)²) = √(9+16) = √25 = 5. AC = |z_{AC}| = √((-3)² + (-1)²) = √(9+1) = √10. 3. z_I = (z_B + z_C)/2 = ((4-i) + (-2+2i))/2 = (2 + i)/2 = 1 + 0,5i. 4. Pour vérifier si ABC est rectangle en A, on calcule le produit scalaire via les affixes : (z_{AB}) * conjugué(z_{AC}) ? Une méthode plus directe : vérifier si AB² + AC² = BC². BC = |z_C - z_B| = |(-2+2i)-(4-i)| = |-6+3i| = √(36+9)=√45. AB²=25, AC²=10, somme=35. BC²=45. 35≠45, donc pas rectangle en A. Vérifions un autre angle ? AB²+BC²=25+45=70, AC²=10 → non. AC²+BC²=10+45=55, AB²=25 → non. Le triangle n'est pas rectangle.

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