Première · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°4 — Probabilités conditionnelles et indépendance

Ce devoir porte sur le calcul de probabilités, les arbres pondérés, les probabilités conditionnelles et l'indépendance.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales (8 points)

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. 1. Représentez la situation par un arbre pondéré. 2. Calculez la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. 3. Calculez la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte. 4. Sachant que la deuxième boule est verte, quelle est la probabilité que la première boule ait été rouge ?

Exercice 2 — Indépendance d'événements (7 points)

On lance un dé cubique équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements : A : « Le résultat est pair » B : « Le résultat est supérieur ou égal à 4 » C : « Le résultat est un 6 » 1. Déterminez P(A), P(B) et P(C). 2. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifiez par un calcul. 3. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifiez. 4. Les événements B et C sont-ils indépendants ? Justifiez.

Exercice 3 — Loi binomiale (introduction) (5 points)

Un joueur de basketball réussit un lancer franc avec une probabilité de 0,7. On suppose que ses tentatives sont indépendantes. Il effectue 10 lancers francs. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers réussis. 1. Justifiez que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètrès. 2. Calculez la probabilité qu'il réussisse exactement 8 lancers. Vous donnerez la formule utilisée et une valeur approchée à 10⁻³ près. 3. Calculez l'espérance E(X). Interprétez ce résultat.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales : 8 points

1. Premier tirage : P(R1)=5/8, P(V1)=3/8. Si R1, il reste 4R et 3V (7 boules). P(R2|R1)=4/7, P(V2|R1)=3/7. Si V1, il reste 5R et 2V (7 boules). P(R2|V1)=5/7, P(V2|V1)=2/7. 2. P(même couleur) = P(R1∩R2) + P(V1∩V2) = (5/8)*(4/7) + (3/8)*(2/7) = 20/56 + 6/56 = 26/56 = 13/28. 3. P(V2) = P(R1∩V2) + P(V1∩V2) = (5/8)*(3/7) + (3/8)*(2/7) = 15/56 + 6/56 = 21/56 = 3/8. 4. On cherche P_{V2}(R1) = P(R1∩V2) / P(V2) = (15/56) / (3/8) = (15/56) * (8/3) = (15*8)/(56*3)=120/168=5/7.

Exercice 2 — Indépendance d'événements : 7 points

1. P(A) = 3/6 = 1/2 (issues 2,4,6). P(B)=3/6=1/2 (issues 4,5,6). P(C)=1/6. 2. A∩B : « pair et ≥4 » → issues {4,6}. P(A∩B)=2/6=1/3. P(A)*P(B)=(1/2)*(1/2)=1/4. Comme 1/3 ≠ 1/4, A et B ne sont pas indépendants. 3. A∩C : « pair et 6 » → issue {6}. P(A∩C)=1/6. P(A)*P(C)=(1/2)*(1/6)=1/12. 1/6 ≠ 1/12, donc A et C ne sont pas indépendants. 4. B∩C : « ≥4 et 6 » → issue {6}. P(B∩C)=1/6. P(B)*P(C)=(1/2)*(1/6)=1/12. 1/6 ≠ 1/12, donc B et C ne sont pas indépendants.

Exercice 3 — Loi binomiale (introduction) : 5 points

1. X compte le nombre de succès (lancer réussi, p=0,7) lors de 10 épreuves identiques et indépendantes. Donc X suit la loi binomiale de paramètrès n=10 et p=0,7. 2. P(X=8) = C_{10}^{8} * (0,7)^8 * (0,3)^2. C_{10}^{8} = C_{10}^{2} = 45. Donc P(X=8) = 45 * (0,7)^8 * (0,09). (0,7)^8 ≈ 0,05764801. P(X=8) ≈ 45 * 0,05764801 * 0,09 ≈ 45 * 0,00518832 ≈ 0,2334744. Soit environ 0,233. 3. Pour une loi binomiale, E(X) = n*p = 10 * 0,7 = 7. En moyenne, sur un grand nombre de séries de 10 lancers, le joueur réussira 7 lancers par série.

Comprendre, puis réessayer

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