Première · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°5 — Géométrie dans l'espace

Ce contrôle évalue la maîtrise des vecteurs dans l'espace, des représentations paramétriques de droites et des équations de plans.

1h30 · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

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Exercice 1 — Vecteurs, colinéarité et coplanarité (7 points)

Dans un repère orthonormé (O; i, j, k) de l'espace, on donne les points : A(1; 0; 2), B(3; 1; -1), C(0; 2; 1) et D(4; -1; 3). 1. Calculez les coordonnées des vecteurs AB, AC et AD. 2. Les vecteurs AB et AC sont-ils colinéaires ? Justifiez. 3. Montrez que les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires en montrant que AD peut s'écrire comme combinaison linéaire de AB et AC, ou par un autre méthode de votre choix.

Exercice 2 — Représentations paramétriques de droites (7 points)

Dans le repère (O; i, j, k), on donne les points E(1; -2; 0) et F(3; 1; 4). 1. Donnez une représentation paramétrique de la droite (EF). 2. La droite (EF) passe-t-elle par le point G(5; 4; 8) ? Justifiez. 3. Donnez une représentation paramétrique de la droite Δ passant par H(0; 1; -1) et de vecteur directeur w(2; -1; 3). 4. Les droites (EF) et Δ sont-elles parallèles ? Justifiez.

Exercice 3 — Équations cartésiennes de plans (6 points)

On considère les points A(1,0,1), B(2,1,0) et C(-1,1,2). 1. Montrez que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Déterminez une équation cartésienne du plan (ABC). 3. Le point D(0,3,1) appartient-il au plan (ABC) ? 4. Déterminez une équation cartésienne du plan P parallèle au plan (ABC) et passant par l'origine O du repère.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Vecteurs, colinéarité et coplanarité : 7 points

1. AB(3-1; 1-0; -1-2) soit AB(2; 1; -3). AC(0-1; 2-0; 1-2) soit AC(-1; 2; -1). AD(4-1; -1-0; 3-2) soit AD(3; -1; 1). 2. AB et AC sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. 2/(-1) = -2 ; 1/2 = 0,5 ; -3/(-1)=3. Les rapports sont différents, donc AB et AC ne sont pas colinéaires. 3. Méthode du déterminant : On regarde si le déterminant des trois vecteurs (dans cet ordre) est nul. Det(AB, AC, AD) = | 2 -1 3 | | 1 2 -1 | = 2*(2*1 - (-1)*(-1)) - (-1)*(1*1 - (-1)*3) + 3*(1*(-1) - 2*3) |-3 -1 1 | = 2*(2 - 1) +1*(1 + 3) + 3*(-1 -6) = 2*1 + 1*4 + 3*(-7) = 2+4-21 = -15. Le déterminant est -15, non nul. Donc les vecteurs ne sont PAS coplanaires. L'énoncé semble contenir une erreur ou un piège. Si le déterminant est non nul, les vecteurs forment une base de l'espace et ne sont pas coplanaires.

Exercice 2 — Représentations paramétriques de droites : 7 points

1. Un vecteur directeur de (EF) est EF(2; 3; 4). Un point de la droite est E(1;-2;0). Représentation paramétrique : x = 1 + 2t y = -2 + 3t, t ∈ ℝ. z = 0 + 4t 2. On cherche s'il existe t tel que : 5=1+2t → t=2 ; 4=-2+3t → 6=3t → t=2 ; 8=0+4t → t=2. Les trois équations donnent la même valeur t=2, donc G∈(EF). 3. Pour Δ passant par H(0;1;-1) et dirigée par w(2;-1;3) : x = 0 + 2k y = 1 - k, k ∈ ℝ. z = -1 + 3k 4. (EF) a pour vecteur directeur u(2;3;4). Δ a pour vecteur directeur w(2;-1;3). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ? Il faudrait qu'il existe λ tel que (2,3,4)=λ(2,-1,3). De 2=2λ on tire λ=1. Mais alors 3=1*(-1)? Non. Donc ils ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont pas parallèles.

Exercice 3 — Équations cartésiennes de plans : 6 points

1. Vecteurs AB(1;1;-1) et AC(-2;1;1). Ils ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (1/(-2) ≠ 1/1). Donc A, B, C non alignés. 2. Un vecteur normal n au plan (ABC) est orthogonal à AB et AC. On calcule n = AB ∧ AC (produit vectoriel). n = | i j k | = i*(1*1 - (-1)*1) - j*(1*1 - (-1)*(-2)) + k*(1*1 - 1*(-2)) | 1 1 -1 | = i*(1+1) - j*(1 - 2) + k*(1+2) = 2i - j*(-1) + 3k = 2i + j + 3k. |-2 1 1 | Donc n(2;1;3). Le plan passe par A(1,0,1). Équation : 2(x-1) + 1(y-0) + 3(z-1)=0 → 2x -2 + y + 3z -3 =0 → 2x + y + 3z -5 =0. 3. Pour D(0,3,1) : 2*0 + 3 + 3*1 -5 = 0+3+3-5=1 ≠0. Donc D n'appartient pas au plan (ABC). 4. Un plan parallèle à (ABC) a le même vecteur normal n(2,1,3). Le plan P passant par O(0,0,0) a pour équation 2x + y + 3z = 0.

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