Terminale · Mathématiques expertes

Devoir surveillé n°1 — Nombres complexes (forme algébrique et géométrie)

Ce DS évalue la maîtrise des opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique et leur interprétation géométrique dans le plan.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs algébriques (6 points)

1. Mettre sous forme algébrique le nombre complexe Z = (2 + 3i)(1 - i) - (4 - i)². 2. Résoudre dans C l'équation : 2z + 3i z̄ = 5 - i, où z̄ désigne le conjugué de z.

Exercice 2 — Interprétation géométrique (8 points)

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O; u, v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives : a = 1 + 2i, b = 3 - i et c = -2 + 5i. 1. Déterminer l'affixe du vecteur AB. 2. Calculer les distances AB et AC. 3. Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier votre réponse par un calcul.

Exercice 3 — Problème de synthèse (6 points)

On considère l'équation (E) : z² - 2√3 z + 4 = 0, où z est un nombre complexe. 1. Calculer le discriminant Δ de (E) et en déduire les solutions complexes z₁ et z₂. 2. Écrire z₁ et z₂ sous forme trigonométrique. 3. Placer les points images M₁ et M₂ de z₁ et z₂ dans le plan complexe. Que peut-on dire du triangle OM₁M₂ ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs algébriques : 6 points

1. On développe : (2+3i)(1-i)=2-2i+3i-3i²=2+i+3=5+i. Puis (4-i)²=16-8i+i²=16-8i-1=15-8i. Donc Z = (5+i) - (15-8i) = 5+i-15+8i = -10+9i. 2. On pose z = x+iy, donc z̄ = x-iy. L'équation devient : 2(x+iy) + 3i(x-iy) = 5-i ⇔ 2x+2iy+3ix+3y = 5-i ⇔ (2x+3y) + i(2y+3x) = 5-i. Par identification : {2x+3y=5 ; 3x+2y=-1}. En résolvant, on trouve x = -17/5 et y = 23/5. Ainsi z = -17/5 + (23/5)i.

Exercice 2 — Interprétation géométrique : 8 points

1. L'affixe du vecteur AB est b - a = (3 - i) - (1 + 2i) = 2 - 3i. 2. AB = |b - a| = |2 - 3i| = √(2² + (-3)²) = √13. AC = |c - a| = |(-2+5i) - (1+2i)| = |-3+3i| = √((-3)²+3²) = √18 = 3√2. 3. Calculons BC : BC = |c - b| = |(-2+5i)-(3-i)| = |-5+6i| = √(25+36)=√61. On a AB²=13, AC²=18, BC²=61. Aucune égalité de Pythagore n'est vérifiée (13+18≠61, etc.). Le triangle ABC n'est ni rectangle, ni isocèle. C'est un triangle quelconque.

Exercice 3 — Problème de synthèse : 6 points

1. Δ = (2√3)² - 4*1*4 = 12 - 16 = -4 = (2i)². Donc Δ < 0. Les solutions sont : z = (2√3 ± 2i) / 2 = √3 ± i. Ainsi, z₁ = √3 + i et z₂ = √3 - i. 2. Pour z₁ : |z₁| = √((√3)²+1²)=√4=2. cos θ = √3/2, sin θ = 1/2 ⇒ θ = π/6 [2π]. Donc z₁ = 2(cos(π/6)+ i sin(π/6)). Pour z₂, |z₂|=2, cos θ=√3/2, sin θ=-1/2 ⇒ θ = -π/6 [2π]. Donc z₂ = 2(cos(-π/6)+ i sin(-π/6)). 3. Les points M₁ et M₂ sont symétriques par rapport à l'axe des réels. OM₁ = OM₂ = 2. L'angle (OM₁, OM₂) = arg(z₂/z₁) = arg(z₂) - arg(z₁) = -π/6 - π/6 = -π/3. Le triangle OM₁M₂ est isocèle en O et l'angle au sommet O mesure π/3, c'est donc un triangle équilatéral.

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