Terminale · Mathématiques expertes

Devoir surveillé n°2 — Arithmétique : Divisibilité et congruences

Ce DS porte sur les notions fondamentales de divisibilité dans Z, l'utilisation du théorème de Gauss et des congruences.

1h · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

Ce sujet n’est pas une annale officielle. La présence d’un corrigé ne garantit pas son exactitude. Vérifie les méthodes avec ton cours ; une note d’entraînement n’est pas une note officielle. Signaler une erreur.

La fenêtre d’impression de ton navigateur permet aussi d’enregistrer en PDF. Aucun téléchargement de PDF officiel n’est annoncé ici.

Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Divisibilité et théorème de Gauss (7 points)

Soit n un entier naturel. On considère les entiers A = 2n + 3 et B = 5n + 7. 1. Démontrer que tout diviseur commun à A et B divise également 1. 2. En déduire que A et B sont premiers entre eux, quel que soit l'entier naturel n.

Exercice 2 — Résolution de congruence (7 points)

1. Déterminer l'entier relatif x tel que 7x ≡ 3 [mod 11]. 2. En déduire les entiers n tels que 7n + 5 soit divisible par 11.

Exercice 3 — Petit théorème de Fermat (6 points)

1. En utilisant le petit théorème de Fermat, démontrer que pour tout entier a non divisible par 7, a^6 ≡ 1 [mod 7]. 2. Application : Déterminer le reste de la division euclidienne de 2025^2025 par 7. On remarquera que 2025 ≡ 2 [mod 7].

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Divisibilité et théorème de Gauss : 7 points

1. Soit d un diviseur commun à A et B. Alors d divise toute combinaison linéaire de A et B. En particulier, d divise 5A - 2B = 5(2n+3) - 2(5n+7) = 10n+15 -10n-14 = 1. Donc d divise 1. 2. Les seuls diviseurs positifs de 1 sont 1 et -1. Ainsi, le seul diviseur commun positif à A et B est 1. Par définition, A et B sont premiers entre eux pour tout entier naturel n.

Exercice 2 — Résolution de congruence : 7 points

1. On cherche l'inverse de 7 modulo 11. 7*8=56 ≡ 1 [11] car 56=5*11+1. Donc l'inverse de 7 est 8. Multiplions l'équation par 8 : 8*7x ≡ 8*3 [11] ⇔ x ≡ 24 [11]. Or 24 ≡ 2 [11]. Donc les solutions sont les x de la forme x = 2 + 11k, avec k ∈ Z. 2. 7n+5 divisible par 11 ⇔ 7n+5 ≡ 0 [11] ⇔ 7n ≡ -5 ≡ 6 [11]. En multipliant par l'inverse 8 : n ≡ 8*6 [11] ≡ 48 [11]. Or 48=4*11+4, donc n ≡ 4 [11]. Les entiers n sont de la forme n = 4 + 11k, k ∈ Z.

Exercice 3 — Petit théorème de Fermat : 6 points

1. Le petit théorème de Fermat stipule que si p est premier et a non divisible par p, alors a^(p-1) ≡ 1 [p]. Ici p=7, donc pour tout a non divisible par 7, a^(7-1)=a^6 ≡ 1 [7]. 2. On a 2025 ≡ 2 [7]. Donc 2025^2025 ≡ 2^2025 [7]. On cherche à utiliser le résultat précédent. On écrit 2025 en division par 6 : 2025 = 6*337 + 3. Ainsi, 2^2025 = 2^(6*337 + 3) = (2^6)^337 * 2^3. D'après 1., puisque 7 est premier et 2 non divisible par 7, 2^6 ≡ 1 [7]. Donc (2^6)^337 ≡ 1^337 ≡ 1 [7]. Finalement, 2^2025 ≡ 1 * 2^3 [7] ≡ 8 [7] ≡ 1 [7]. Le reste de la division de 2025^2025 par 7 est donc 1.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

Planifier une révision · Chercher un autre entraînement

Devoir surveillé n°1 — Nombres complexes (forme algébrique et géométrie)

Devoir surveillé n°3 — Graphes et matrices

Devoir surveillé n°4 — Combinatoire et dénombrement