Terminale · Mathématiques expertes

Devoir surveillé n°4 — Combinatoire et dénombrement

Ce DS traite des principes fondamentaux du dénombrement : arrangements, combinaisons, permutations, et du binôme de Newton.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Arrangements et combinaisons (7 points)

1. Combien de nombres de 3 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ? 2. Dans une classe de 30 élèves, on doit élire un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier. Combien de bureaux différents peut-on former ? 3. Même question, mais si les trois postes sont identiques (simple commission de 3 personnes).

Exercice 2 — Binôme de Newton (7 points)

1. Développer (2x - 3)⁴ en utilisant la formule du binôme de Newton. 2. En déduire la valeur de la somme S = C₄⁰ * 2⁴ - C₄¹ * 2³*3 + C₄² * 2²*3² - C₄³ * 2¹*3³ + C₄⁴ * 3⁴.

Exercice 3 — Problème de répartition (6 points)

De combien de façons peut-on répartir 10 livres identiques entre 3 élèves, A, B et C, sachant que chaque élève doit recevoir au moins un livre ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Arrangements et combinaisons : 7 points

1. Il s'agit d'arrangements de 3 éléments parmi 7, car l'ordre des chiffres compte. Nombre : A₇³ = 7*6*5 = 210. 2. Ici, les postes sont distincts, l'ordre compte. On choisit 3 personnes parmi 30, puis on les affecte aux postes. Nombre : A₃₀³ = 30*29*28 = 24360. 3. Si les postes sont identiques, on forme une simple combinaison de 3 personnes parmi 30. Nombre : C₃₀³ = (30*29*28)/(3*2*1) = 4060.

Exercice 2 — Binôme de Newton : 7 points

1. (2x - 3)⁴ = Σ_{k=0}^{4} C₄ᵏ (2x)^{4-k} (-3)^k = C₄⁰ (2x)⁴ + C₄¹ (2x)³(-3) + C₄² (2x)²(-3)² + C₄³ (2x)¹(-3)³ + C₄⁴ (-3)⁴. Soit : 16x⁴ + 4*(8x³)*(-3) + 6*(4x²)*9 + 4*(2x)*(-27) + 1*81 = 16x⁴ - 96x³ + 216x² - 216x + 81. 2. La somme S correspond exactement au développement de (2 - 3)⁴, c'est-à-dire en prenant x=1 dans l'expression précédente. Donc S = (2 - 3)⁴ = (-1)⁴ = 1. On peut vérifier : 16 - 96 + 216 - 216 + 81 = 1.

Exercice 3 — Problème de répartition : 6 points

Donner un livre à chaque élève dès le début pour respecter la contrainte. Il reste alors 10 - 3 = 7 livres identiques à répartir librement entre les 3 élèves. Le nombre de répartitions de n objets identiques entre k personnes est donné par le nombre de combinaisons avec répétition : C_{n+k-1}^{k-1}. Ici, n=7 (livres restants), k=3 (élèves). Le nombre de façons est donc : C_{7+3-1}^{3-1} = C₉² = 36. On peut aussi voir cela comme le nombre de solutions en entiers naturels de a + b + c = 7, où a, b, c sont les livres supplémentaires reçus par A, B, C.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

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