Terminale · Mathématiques expertes

Devoir surveillé n°5 — Nombres complexes (suite) et équations polynomiales

Ce DS approfondit l'étude des nombres complexes (forme exponentielle, racines n-ièmes) et aborde la résolution d'équations polynomiales dans C.

1h30 · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

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Exercice 1 — Forme exponentielle et racines carrées (6 points)

1. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe z = -2√3 + 2i. 2. En déduire les racines carrées de z sous forme algébrique.

Exercice 2 — Racines n-ièmes de l'unité (8 points)

On note Uₙ l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité. 1. Résoudre dans C l'équation z⁶ = 1. Donner les solutions sous forme exponentielle. 2. Vérifier que si ω = e^{iπ/3}, alors 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ + ω⁵ = 0. 3. Calculer le produit P = (2 - ω)(2 - ω²)(2 - ω³)(2 - ω⁴)(2 - ω⁵).

Exercice 3 — Équation polynomiale du troisième degré (6 points)

On considère l'équation (E) : z³ - (4+i)z² + (5+4i)z - 5i = 0, d'inconnue complexe z. 1. Vérifier que i est solution de (E). 2. Déterminer les nombres complexes a, b, c tels que, pour tout z ∈ C : z³ - (4+i)z² + (5+4i)z - 5i = (z - i)(az² + bz + c). 3. Résoudre alors complètement l'équation (E) dans C.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Forme exponentielle et racines carrées : 6 points

1. |z| = √((-2√3)² + 2²) = √(12+4)=√16=4. Un argument θ vérifie cos θ = -2√3/4 = -√3/2 et sin θ = 2/4 = 1/2. Donc θ = 5π/6 [2π]. Ainsi, z = 4 e^{i5π/6}. 2. Les racines carrées de z sont : ±√|z| e^{iθ/2} = ±2 e^{i5π/12}. Sous forme algébrique : 2(cos(5π/12)+ i sin(5π/12)). On peut aussi utiliser cos(5π/12)=cos(75°)=(√6-√2)/4 et sin(5π/12)=(√6+√2)/4. Donc les racines sont ±2( (√6-√2)/4 + i(√6+√2)/4 ) = ±( (√6-√2)/2 + i(√6+√2)/2 ).

Exercice 2 — Racines n-ièmes de l'unité : 8 points

1. z⁶ = 1 ⇔ z = e^{i * 2kπ/6} = e^{i kπ/3}, avec k ∈ {0,1,2,3,4,5}. Les solutions sont : 1, e^{iπ/3}, e^{i2π/3}, e^{iπ}, e^{i4π/3}, e^{i5π/3}. 2. ω est une racine sixième de l'unité différente de 1 (car ω⁶=1). La somme des racines n-ièmes de l'unité est nulle. Donc 1+ω+ω²+ω³+ω⁴+ω⁵=0. On peut aussi utiliser la formule de la somme géométrique : S = (1-ω⁶)/(1-ω) = 0/(1-ω)=0. 3. Le polynôme X⁶ - 1 se factorise par (X-1)(X⁵+X⁴+X³+X²+X+1). Ses racines sont les ω^k. Donc X⁶-1 = ∏_{k=0}^{5} (X - ω^k). En particulier, pour X=2, on a : 2⁶ - 1 = ∏_{k=0}^{5} (2 - ω^k) = (2-1) * P. Donc 64 - 1 = 1 * P, soit P = 63.

Exercice 3 — Équation polynomiale du troisième degré : 6 points

1. En remplaçant z par i : i³ - (4+i)i² + (5+4i)i - 5i = -i - (4+i)*(-1) + 5i+4i² -5i = -i +4+i +5i -4 -5i = (-i+i) + (5i-5i) + (4-4) = 0. Donc i est solution. 2. On effectue la division euclidienne du polynôme par (z-i). Par identification ou division polynomiale, on trouve : a=1, b = -4 (car le coefficient en z² donne a=1, puis -i*a + b = -(4+i) ⇒ -i + b = -4 - i ⇒ b=-4), et enfin c=5 (car -i*b + c = 5+4i ⇒ 4i + c = 5+4i ⇒ c=5). Vérification : (z-i)(z² -4z +5) = z³ -4z²+5z -iz²+4iz -5i = z³ -(4+i)z²+(5+4i)z -5i. C'est correct. 3. Il reste à résoudre z² - 4z + 5 = 0. Δ' = 4 - 5 = -1 = i². Les solutions sont : z = 2 ± i. Ainsi, l'ensemble des solutions de (E) est S = {i, 2+i, 2-i}.

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