Terminale · Mathématiques complémentaires

Contrôle n°1 — Suites numériques et récurrence

Ce devoir évalue la maîtrise des raisonnements par récurrence et l'étude des suites définies par récurrence, avec une attention particulière portée à la rédaction.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

Ce sujet n’est pas une annale officielle. La présence d’un corrigé ne garantit pas son exactitude. Vérifie les méthodes avec ton cours ; une note d’entraînement n’est pas une note officielle. Signaler une erreur.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Raisonnement par récurrence (6 points)

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, la somme des carrés des n premiers entiers naturels est donnée par : 1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6.

Exercice 2 — Étude d'une suite définie par récurrence (8 points)

On considère la suite (u_n) définie par u_0 = 2 et pour tout entier naturel n, u_{n+1} = (u_n + 6) / 4. 1. Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ, u_n > 2. 2. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante. 3. La suite (u_n) est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.

Exercice 3 — Problème de seuil (6 points)

On considère la suite (v_n) définie pour n ≥ 1 par v_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n. On admet que cette suite diverge vers +∞. À l'aide d'un algorithme de seuil implémenté sur calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que v_n > 5. Vous décrirez précisément la méthode utilisée.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Raisonnement par récurrence : 6 points

Initialisation : Pour n=1, 1²=1 et 1×2×3/6=1. La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n. Alors 1²+...+n²+(n+1)² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)². En factorisant par (n+1), on obtient (n+1)[n(2n+1)/6 + (n+1)]. En réduisant au même dénominateur : (n+1)[(2n²+n+6n+6)/6] = (n+1)(2n²+7n+6)/6. Or 2n²+7n+6 = (n+2)(2n+3). Donc la somme vaut (n+1)(n+2)(2n+3)/6, ce qui est bien la formule au rang n+1. Conclusion : La propriété est héréditaire et initialisée, donc vraie pour tout n ≥ 1.

Exercice 2 — Étude d'une suite définie par récurrence : 8 points

1. Initialisation : u_0=2 > 2 est faux, mais l'énoncé demande u_n > 2. On vérifie u_1=2, donc la propriété est fausse. L'énoncé comporte une erreur, on démontre plutôt u_n ≥ 2. Pour n=0, c'est vrai. Hérédité : Si u_n ≥ 2, alors u_{n+1} = (u_n+6)/4 ≥ (2+6)/4 = 2. Donc u_n ≥ 2 pour tout n. 2. u_{n+1} - u_n = (u_n+6)/4 - u_n = (6 - 3u_n)/4. Comme u_n ≥ 2, alors 6 - 3u_n ≤ 0, donc la suite est décroissante. 3. La suite est décroissante et minorée par 2, donc convergente vers une limite ℓ vérifiant ℓ = (ℓ+6)/4, soit 4ℓ = ℓ+6, donc ℓ=2.

Exercice 3 — Problème de seuil : 6 points

On initialise une variable S à 0 et un compteur n à 0. Tant que S ≤ 5, on incrémente n de 1 et on ajoute 1/n à S. À la sortie de la boucle, n est le plus petit entier tel que S > 5. Une implémentation possible : S←0 ; n←0 ; While S≤5 : n←n+1 ; S←S+1/n ; EndWhile. L'exécution donne n = 83, car v_82 ≈ 4.999 et v_83 ≈ 5.002.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

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