Terminale · Mathématiques complémentaires

Contrôle n°2 — Dénombrement et probabilités conditionnelles

Ce contrôle porte sur les principes de dénombrement (arrangements, combinaisons) et l'application du théorème de Bayes dans des situations concrètes.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Combinatoire et arrangements (5 points)

Un club de 15 membres doit élire un bureau composé d'un président, d'un secrétaire et d'un trésorier. 1. Combien de bureaux différents peut-on former si une personne ne peut occuper qu'un seul poste ? 2. Même question si aucune restriction n'est imposée (une personne peut cumuler les postes).

Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et formule de Bayes (8 points)

Dans une usine, les machines A, B et C produisent respectivement 50%, 30% et 20% des pièces. Le taux de pièces défectueuses est de 1% pour A, 2% pour B et 5% pour C. 1. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ? 2. On constate qu'une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la machine C ?

Exercice 3 — Arbre pondéré et indépendance (7 points)

On lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un bleu. On note R l'événement "le dé rouge montre un 6" et B l'événement "le dé bleu montre un 6". 1. Les événements R et B sont-ils indépendants ? Justifiez. 2. On considère l'événement S : "la somme des deux dés est égale à 7". Les événements R et S sont-ils indépendants ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Combinatoire et arrangements : 5 points

1. Il s'agit de choisir 3 personnes distinctes parmi 15 et de leur attribuer un rôle spécifique (ordre important). C'est le nombre d'arrangements de 3 parmi 15 : A_15^3 = 15×14×13 = 2730. 2. Si une personne peut occuper plusieurs postes, pour chaque poste (président, secrétaire, trésorier) on a 15 choix indépendants. Le nombre de bureaux est donc 15³ = 3375.

Exercice 2 — Probabilités conditionnelles et formule de Bayes : 8 points

Notons D l'événement "la pièce est défectueuse". D'après la formule des probabilités totales : P(D) = P(A)×P_A(D) + P(B)×P_B(D) + P(C)×P_C(D). Soit P(D) = 0.5×0.01 + 0.3×0.02 + 0.2×0.05 = 0.005 + 0.006 + 0.01 = 0.021. 2. On cherche P_C(D) = P(C∩D)/P(D) = (0.2×0.05)/0.021 = 0.01/0.021 ≈ 0.476. La probabilité que la pièce défectueuse provienne de C est d'environ 47,6%.

Exercice 3 — Arbre pondéré et indépendance : 7 points

1. P(R)=1/6, P(B)=1/6, P(R∩B)=1/36. Comme P(R∩B)=P(R)×P(B), les événements sont indépendants. 2. P(S)=6/36=1/6 (les couples (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)). R∩S est réalisé seulement si le dé rouge montre 6 et le bleu montre 1 (pour que la somme fasse 7). Donc P(R∩S)=1/36. On a P(R)×P(S)=(1/6)×(1/6)=1/36. Donc P(R∩S)=P(R)×P(S). Les événements R et S sont également indépendants.

Comprendre, puis réessayer

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