Terminale · Mathématiques complémentaires

Contrôle n°3 — Fonctions logarithmes et exponentielles

Ce devoir surveillé teste la manipulation des fonctions ln et exp, leurs propriétés algébriques, les calculs de limites et de dérivées.

1h30 · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

Ce sujet n’est pas une annale officielle. La présence d’un corrigé ne garantit pas son exactitude. Vérifie les méthodes avec ton cours ; une note d’entraînement n’est pas une note officielle. Signaler une erreur.

La fenêtre d’impression de ton navigateur permet aussi d’enregistrer en PDF. Aucun téléchargement de PDF officiel n’est annoncé ici.

Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Étude complète d'une fonction (9 points)

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x² - 2x + 2ln(x). 1. Déterminer la limite de f en 0 et en +∞. 2. Calculer f'(x) et étudier son signe. 3. Dresser le tableau de variations de f. 4. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans l'intervalle ]0;1[. Donner un encadrement de α à 10⁻² près.

Exercice 2 — Résolution d'équations et d'inéquations (6 points)

Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes : 1. e^(2x) - 3e^x + 2 = 0 2. ln(x+1) + ln(x-1) = ln(8) 3. e^(-x+1) ≥ 3

Exercice 3 — Problème de modélisation (5 points)

La concentration C(t) d'un médicament dans le sang, en mg/L, en fonction du temps t en heures, est modélisée par C(t) = 2e^(-0.15t). 1. Quelle est la concentration initiale ? 2. Au bout de combien de temps la concentration est-elle divisée par deux ? On donnera une valeur exacte puis une valeur approchée à 0.1 heure près. 3. Déterminer la limite de C(t) en +∞. Interpréter ce résultat.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Étude complète d'une fonction : 9 points

1. En 0⁺, ln(x) → -∞, donc f(x) → -∞. En +∞, x² est prépondérant, donc f(x) → +∞. 2. f'(x) = 2x - 2 + 2/x = (2x² - 2x + 2)/x = 2(x² - x + 1)/x. Le discriminant de x²-x+1 est Δ=-3<0, donc x²-x+1>0 pour tout x>0. Ainsi, f'(x) > 0 sur ]0;+∞[. 3. f est strictement croissante sur ]0;+∞[, de -∞ à +∞. 4. f est continue et strictement croissante. f(0.1)≈ -2.3 et f(1)= -1. Comme f(0.1)<0<f(1), d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique α ∈ ]0.1;1[ tel que f(α)=0. Par balayage, f(0.45)≈ -0.08 et f(0.46)≈ 0.004, donc α ∈ ]0.45;0.46[.

Exercice 2 — Résolution d'équations et d'inéquations : 6 points

1. On pose X = e^x. L'équation devient X² - 3X + 2 = 0, soit (X-1)(X-2)=0. Donc X=1 ou X=2. Ainsi, e^x=1 ⇒ x=0 ; e^x=2 ⇒ x=ln(2). S={0, ln(2)}. 2. Conditions : x+1>0 et x-1>0, donc x>1. ln[(x+1)(x-1)] = ln(8) ⇒ ln(x²-1)=ln(8) ⇒ x²-1=8 ⇒ x²=9 ⇒ x=3 ou x=-3. Seul x=3 est >1. S={3}. 3. e^(-x+1) ≥ 3 ⇔ -x+1 ≥ ln(3) ⇔ -x ≥ ln(3)-1 ⇔ x ≤ 1 - ln(3). S= ]-∞ ; 1-ln(3)].

Exercice 3 — Problème de modélisation : 5 points

1. C(0)=2e^0=2 mg/L. 2. On cherche t tel que C(t)=1, soit 2e^(-0.15t)=1 ⇔ e^(-0.15t)=0.5 ⇔ -0.15t = ln(0.5) ⇔ t = -ln(0.5)/0.15 = ln(2)/0.15. Valeur approchée : t ≈ 0.6931/0.15 ≈ 4.6 heures. 3. lim_{t→+∞} e^(-0.15t) = 0, donc lim C(t)=0. Le médicament est progressivement éliminé de l'organisme.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

Planifier une révision · Chercher un autre entraînement

Contrôle n°1 — Suites numériques et récurrence

Contrôle n°2 — Dénombrement et probabilités conditionnelles

Contrôle n°4 — Calcul intégral