Terminale · Mathématiques complémentaires

Contrôle n°4 — Calcul intégral

Ce contrôle évalue la compréhension du calcul intégral : calculs d'intégrales, interprétation géométrique, utilisation de la primitive et valeur moyenne.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs d'intégrales (7 points)

Calculer les intégrales suivantes : I = ∫_1^e (1 + ln(x)) / x dx J = ∫_0^1 (2x + 3)e^x dx

Exercice 2 — Aire entre deux courbes (6 points)

Dans un repère orthonormé, on considère les courbes C_f et C_g représentant les fonctions f et g définies sur [0;2] par f(x)=x² et g(x)=2x. 1. Représenter schématiquement la situation. 2. Calculer l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par ces deux courbes et les droites d'équations x=0 et x=2.

Exercice 3 — Valeur moyenne et théorème fondamental (7 points)

Soit F la fonction définie sur ℝ par F(x) = ∫_0^x e^(-t²) dt. 1. Justifier que F est dérivable sur ℝ et calculer F'(x). 2. Calculer la valeur moyenne de la fonction t ↦ e^(-t²) sur l'intervalle [0, 1].

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs d'intégrales : 7 points

Pour I : On reconnaît une forme u'/u avec u=ln(x). En effet, (1+ln(x))/x = 1/x + ln(x)/x. Une primitive de 1/x est ln|x|, une primitive de ln(x)/x est (1/2)[ln(x)]². Donc I = [ln(x) + (1/2)(ln(x))²]_1^e = (1 + 1/2) - (0 + 0) = 3/2. Pour J : On utilise une intégration par parties avec u'=e^x et v=2x+3. Alors u=e^x, v'=2. J = [(2x+3)e^x]_0^1 - ∫_0^1 2e^x dx = (5e - 3) - [2e^x]_0^1 = 5e - 3 - (2e - 2) = 3e - 1.

Exercice 2 — Aire entre deux courbes : 6 points

1. Sur [0,2], la droite g est au-dessus de la parabole f. L'aire cherchée est entre les deux courbes de x=0 à x=2. 2. L'aire A est donnée par ∫_0^2 (g(x) - f(x)) dx = ∫_0^2 (2x - x²) dx. Une primitive est x² - x³/3. A = [x² - x³/3]_0^2 = (4 - 8/3) - 0 = (12/3 - 8/3) = 4/3 u.a.

Exercice 3 — Valeur moyenne et théorème fondamental : 7 points

1. La fonction φ(t)=e^(-t²) est continue sur ℝ, donc d'après le théorème fondamental de l'analyse, F est dérivable sur ℝ et pour tout x, F'(x)=φ(x)=e^(-x²). 2. La valeur moyenne μ sur [a,b] est μ = (1/(b-a)) ∫_a^b f(t) dt. Ici, μ = (1/(1-0)) ∫_0^1 e^(-t²) dt = F(1). On ne peut pas l'exprimer avec des fonctions usuelles, mais on peut donner une valeur approchée : F(1) ≈ 0.7468.

Comprendre, puis réessayer

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