Terminale · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°1 — Suites numériques

Ce devoir évalue la maîtrise des suites arithmétiques, géométriques et des raisonnements par récurrence.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Raisonnement par récurrence (6 points)

Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et pour tout entier naturel n, u_{n+1} = 2u_n + 3. 1. Calculer u_1, u_2 et u_3. 2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n = 4 × 2^n - 3.

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique (8 points)

Une entreprise achète une machine pour 15 000 €. Chaque année, la valeur de la machine diminue de 20% et l'entreprise verse 500 € pour son entretien annuel. On note v_n sa valeur en euros après n années (v_0 = 15000). 1. Justifier que pour tout n ∈ ℕ, v_{n+1} = 0,8 v_n + 500. 2. On pose w_n = v_n - 2500. Démontrer que (w_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 3. En déduire l'expression de v_n en fonction de n. 4. Au bout de combien d'années la valeur de la machine devient-elle inférieure à 4000 € ?

Exercice 3 — Limite d'une suite géométrique (6 points)

Pour chaque suite définie ci-dessous, déterminer sa limite. Justifier brièvement. a) u_n = 3 × (0,7)^n b) v_n = -2 × (1,1)^n c) w_n = 5 × (-0,9)^n

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Raisonnement par récurrence : 6 points

1. u_1 = 2×1 + 3 = 5 ; u_2 = 2×5 + 3 = 13 ; u_3 = 2×13 + 3 = 29. 2. Initialisation : Pour n=0, u_0 = 1 et 4×2^0 - 3 = 4-3 = 1. La propriété est vraie au rang 0. Hérédité : Supposons u_n = 4×2^n - 3. Alors u_{n+1} = 2(4×2^n - 3) + 3 = 8×2^n - 6 + 3 = 4×2^{n+1} - 3. La propriété est héréditaire. Conclusion : La propriété est vraie pour tout n ∈ ℕ.

Exercice 2 — Suite arithmético-géométrique : 8 points

1. Diminution de 20% : valeur × 0,8. Ajout des frais : +500. Donc v_{n+1} = 0,8 v_n + 500. 2. w_{n+1} = v_{n+1} - 2500 = 0,8 v_n + 500 - 2500 = 0,8 v_n - 2000 = 0,8(v_n - 2500) = 0,8 w_n. (w_n) est géométrique de raison 0,8, avec w_0 = 15000 - 2500 = 12500. 3. w_n = 12500 × 0,8^n donc v_n = 12500 × 0,8^n + 2500. 4. On résout 12500×0,8^n + 2500 < 4000 ⇔ 12500×0,8^n < 1500 ⇔ 0,8^n < 0,12. Par essais successifs ou logarithme, n=9 donne 0,8^9 ≈ 0,134 > 0,12 et n=10 donne ≈ 0,107 < 0,12. Donc au bout de 10 ans.

Exercice 3 — Limite d'une suite géométrique : 6 points

a) (0,7)^n est une suite géométrique de raison 0,7 ∈ ]0;1[, donc sa limite est 0. Par produit, lim u_n = 0. b) (1,1)^n est une suite géométrique de raison 1,1 > 1, donc sa limite est +∞. Par produit avec -2, lim v_n = -∞. c) | -0,9 | = 0,9 ∈ ]0;1[, donc lim |w_n| = 0. Une suite dont la valeur absolue tend vers 0 tend elle-même vers 0. Ainsi, lim w_n = 0.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

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