Terminale · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°3 — Probabilités conditionnelles

Ce devoir évalue la compréhension des probabilités conditionnelles, de l'indépendance et de la loi binomiale.

1h · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales (7 points)

Dans un lycée, 40% des élèves font de l'allemand en LV1. Parmi ceux qui font de l'allemand, 30% font du latin. Parmi ceux qui ne font pas d'allemand, 20% font du latin. On choisit un élève au hasard. On note A : "l'élève fait de l'allemand" et L : "l'élève fait du latin". 1. Traduire les données de l'énoncé en probabilités. 2. Construire un arbre pondéré modélisant la situation. 3. Calculer la probabilité que l'élève choisi fasse du latin. 4. Sachant que l'élève choisi fait du latin, quelle est la probabilité qu'il fasse aussi de l'allemand ?

Exercice 2 — Loi binomiale et intervalle de fluctuation (7 points)

Une usine produit des pièces dont 5% sont défectueuses. On prélève au hasard 80 pièces. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètrès. 2. Calculer P(X = 4). Donner une valeur arrondie à 10^{-3}. 3. Calculer l'espérance E(X). Interpréter le résultat. 4. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence de pièces défectueuses dans un échantillon de taille 80.

Exercice 3 — Indépendance d'événements (6 points)

On lance un dé équilibré à six faces. On considère les événements : A : "le résultat est pair" B : "le résultat est un multiple de 3" C : "le résultat est strictement inférieur à 4" 1. Calculer P(A), P(B), P(C). 2. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier. 3. Les événements A et C sont-ils indépendants ? Justifier.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Arbre pondéré et formule des probabilités totales : 7 points

1. P(A) = 0,4 ; P_A(L) = 0,3 ; P_{\bar{A}}(L) = 0,2. 2. Arbre : Premier niveau A (0,4) et \bar{A} (0,6). De A partent L (0,3) et \bar{L} (0,7). De \bar{A} partent L (0,2) et \bar{L} (0,8). 3. Par la formule des probabilités totales : P(L) = P(A∩L) + P(\bar{A}∩L) = (0,4×0,3) + (0,6×0,2) = 0,12 + 0,12 = 0,24. 4. On cherche P_L(A) = P(A∩L) / P(L) = 0,12 / 0,24 = 0,5.

Exercice 2 — Loi binomiale et intervalle de fluctuation : 7 points

1. On répète 80 fois, de manière identique et indépendante, l'épreuve de Bernoulli : "la pièce est défectueuse" de probabilité p = 0,05. X compte les succès. Donc X suit la loi binomiale B(80; 0,05). 2. P(X=4) = C_{80}^4 × (0,05)^4 × (0,95)^{76} ≈ 0,150 (calculatrice). 3. E(X) = n p = 80 × 0,05 = 4. En moyenne, sur un grand nombre d'échantillons de 80 pièces, on trouve 4 pièces défectueuses. 4. n=80≥30, np=4≥5, n(1-p)=76≥5. Conditions vérifiées. I = [p - 1,96√(p(1-p)/n) ; p + 1,96√(p(1-p)/n)] ≈ [0,05 - 0,048 ; 0,05 + 0,048] = [0,002 ; 0,098].

Exercice 3 — Indépendance d'événements : 6 points

1. P(A) = 3/6 = 1/2 (issues 2,4,6). P(B) = 2/6 = 1/3 (issues 3,6). P(C) = 3/6 = 1/2 (issues 1,2,3). 2. A∩B : "pair et multiple de 3" → issue 6. P(A∩B)=1/6. P(A)×P(B) = (1/2)×(1/3)=1/6. P(A∩B)=P(A)P(B), donc A et B sont indépendants. 3. A∩C : "pair et <4" → issue 2. P(A∩C)=1/6. P(A)×P(C) = (1/2)×(1/2)=1/4. 1/6 ≠ 1/4, donc A et C ne sont pas indépendants.

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