Terminale · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°2 — Dérivation et convexité

Ce devoir porte sur l'étude des fonctions, l'utilisation de la dérivation et la notion de convexité.

1h30 · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Étude complète d'une fonction (8 points)

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. 1. Calculer f'(x) et étudier son signe. 2. Dresser le tableau de variations de f. 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1. 4. Calculer f''(x). Étudier la convexité de f et déterminer son point d'inflexion.

Exercice 2 — Problème d'optimisation (7 points)

On souhaite construire une boîte parallélépipédique sans couvercle à partir d'une feuille de carton carrée de côté 24 cm. On découpe des carrés identiques dans chaque coin, puis on relève les bords. On note x la longueur du côté des carrés découpés (en cm). 1. Quelles sont les valeurs possibles pour x ? 2. Exprimer le volume V(x) de la boîte en fonction de x. 3. Étudier les variations de la fonction V sur l'intervalle admissible. 4. En déduire la valeur de x qui maximise le volume et calculer ce volume maximal.

Exercice 3 — Inégalités et convexité (5 points)

1. Démontrer que pour tout x > 0, ln(x) ≤ x - 1. (On pourra étudier une fonction auxiliaire). 2. En utilisant la convexité de la fonction exponentielle, démontrer que pour tous réels a et b, (e^a + e^b)/2 ≥ e^{(a+b)/2}.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Étude complète d'une fonction : 8 points

1. f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2). f'(x) = 0 pour x=0 et x=2. Signe : positif sur ]-∞;0[, négatif sur ]0;2[, positif sur ]2;+∞[. 2. Variations : f croissante sur ]-∞;0], décroissante sur [0;2], croissante sur [2;+∞[. f(0)=2 (maximum local), f(2)= -2 (minimum local). 3. f(1)=0, f'(1)= -3. Tangente : y = f'(1)(x-1) + f(1) = -3(x-1) + 0 = -3x + 3. 4. f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1). f''(x) ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. f est concave sur ]-∞;1] et convexe sur [1;+∞[. Le point d'abscisse 1, (1;0), est point d'inflexion.

Exercice 2 — Problème d'optimisation : 7 points

1. On découpe deux carrés par côté, donc 2x < 24, soit x ∈ ]0;12[. 2. La base de la boîte est un carré de côté (24 - 2x). La hauteur est x. Donc V(x) = x × (24 - 2x)^2. 3. V est dérivable : V'(x) = (24-2x)^2 + x × 2(24-2x)×(-2) = (24-2x)[(24-2x) - 4x] = (24-2x)(24 - 6x). V'(x)=0 pour x=12 (hors intervalle) et x=4. Signe : V'(x)>0 sur ]0;4[ et <0 sur ]4;12[. V est croissante puis décroissante. 4. Le maximum est atteint en x=4 cm. V(4) = 4 × (16)^2 = 4 × 256 = 1024 cm³.

Exercice 3 — Inégalités et convexité : 5 points

1. Soit g(x) = x - 1 - ln(x), définie sur ]0;+∞[. g'(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x. g'(x) négative sur ]0;1[, positive sur ]1;+∞[. g admet un minimum en x=1 : g(1)=0. Donc pour tout x>0, g(x) ≥ 0, soit ln(x) ≤ x-1. 2. La fonction exponentielle est convexe sur ℝ. Par définition de la convexité, pour tous a, b et tout t ∈ [0;1], exp(t a + (1-t) b) ≤ t e^a + (1-t) e^b. En prenant t = 1/2, on obtient : exp((a+b)/2) ≤ (1/2) e^a + (1/2) e^b, ce qui équivaut à l'inégalité demandée.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

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