Terminale · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°4 — Fonctions exponentielles et logarithmes

Ce devoir porte sur les propriétés, l'étude et les équations/inéquations avec les fonctions exp et ln.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Équations et inéquations (8 points)

Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes. Donner les solutions exactes. 1. e^{2x} - 3e^x + 2 = 0 2. ln(x+1) + ln(x+3) = ln(3) 3. e^{x-1} ≥ 5 4. ln(2x - 4) < 0

Exercice 2 — Étude de fonction avec logarithme (7 points)

Soit f définie sur ]0;+∞[ par f(x) = x - 2 - ln(x). 1. Calculer f'(x) et étudier son signe. 2. Dresser le tableau de variations de f. Préciser les limites en 0 et en +∞. 3. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α dans ]0;+∞[. Donner un encadrement de α d'amplitude 0,1. 4. En déduire le signe de f(x) sur ]0;+∞[.

Exercice 3 — QCM rapide sur les propriétés (5 points)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier brièvement. a) Pour tout x réel, e^{x^2} = (e^x)^2. b) La fonction x → ln(x²) est définie sur ℝ*. c) La dérivée de x → e^{-3x} est x → -3e^{-3x}. d) ln(a+b) = ln(a) + ln(b) pour tous réels a, b > 0.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Équations et inéquations : 8 points

1. Posons X = e^x > 0. L'équation devient X^2 - 3X + 2 = 0, soit (X-1)(X-2)=0. X=1 ou X=2. Donc e^x=1 ⇒ x=0 ; e^x=2 ⇒ x=ln(2). S={0 ; ln(2)}. 2. Conditions : x+1>0 et x+3>0 ⇒ x > -1. ln[(x+1)(x+3)] = ln(3) ⇒ (x+1)(x+3)=3 ⇒ x^2+4x+3=3 ⇒ x(x+4)=0 ⇒ x=0 ou x=-4. Seul x=0 est > -1. S={0}. 3. e^{x-1} ≥ 5 ⇔ x-1 ≥ ln(5) ⇔ x ≥ 1 + ln(5). S = [1+ln(5) ; +∞[. 4. Conditions : 2x-4 > 0 ⇒ x > 2. ln(2x-4) < 0 = ln(1) ⇔ 0 < 2x-4 < 1 ⇔ 4 < 2x < 5 ⇔ 2 < x < 2,5. S = ]2 ; 2,5[.

Exercice 2 — Étude de fonction avec logarithme : 7 points

1. f'(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x. f'(x) négative sur ]0;1[, nulle en 1, positive sur ]1;+∞[. 2. f décroissante sur ]0;1], croissante sur [1;+∞[. Minimum en x=1 : f(1)= -1 - 0 = -1. Limite en 0⁺ : ln(x) → -∞ donc -ln(x) → +∞, ainsi f(x) → +∞. Limite en +∞ : f(x) = x(1 - 2/x - ln(x)/x) → +∞ car ln(x)/x → 0. 3. f est continue, strictement décroissante sur ]0;1] de +∞ à -1, donc 0 a un antécédent unique dans ]0;1[. Sur [1;+∞[, f est strictement croissante de -1 à +∞, donc 0 n'a pas d'antécédent. Ainsi α ∈ ]0;1[. f(0,5)≈0,5-2-(-0,693)= -0,807<0 ; f(0,4)≈0,4-2-(-0,916)= -0,684<0 ; f(0,3)≈0,3-2-(-1,204)= -0,496<0 ; f(0,2)≈0,2-2-(-1,609)= -0,191<0 ; f(0,1)≈0,1-2-(-2,302)= 0,402>0. Donc α ∈ ]0,1 ; 0,2[. f(0,15)≈0,15-2-(-1,897)= 0,047>0. Donc α ∈ ]0,1 ; 0,15[. 4. f(x) > 0 sur ]0;α[, f(α)=0, et f(x) < 0 sur ]α;+∞[.

Exercice 3 — QCM rapide sur les propriétés : 5 points

a) Faux. (e^x)^2 = e^{2x}. En général, e^{x^2} ≠ e^{2x} (sauf pour x=0 ou x=2). b) Vrai. x² > 0 pour tout x ≠ 0, donc le domaine est bien ℝ*. c) Vrai. Dérivée de e^{u} : u'e^{u}. Ici u(x)=-3x, u'(x)=-3. d) Faux. La propriété est ln(ab) = ln(a)+ln(b). Pour la somme, il n'y a pas de formule simple.

Comprendre, puis réessayer

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