Seconde · Mathématiques

Contrôle n°2 — Géométrie analytique dans le plan

Ce devoir porte sur le repérage dans le plan, le calcul de coordonnées, de milieux et de distances, ainsi que sur les équations de droites.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs dans un repère (7 points)

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1 ; -2), B(4 ; 3) et C(-2 ; 5). 1. Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB]. 2. Calculer les distances AB et AC. 3. Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier votre réponse.

Exercice 2 — Équations de droites (7 points)

On considère les points D(2 ; 1) et E(-1 ; 4). 1. Déterminer le coefficient directeur de la droite (DE). 2. Déterminer une équation réduite de la droite (DE). 3. La droite (DE) passe-t-elle par le point F(5 ; -2) ? Justifier par le calcul. 4. Déterminer une équation de la droite Δ parallèle à (DE) passant par l'origine O du repère.

Exercice 3 — Problème : alignement de points (6 points)

Dans un repère, on donne les points A(-3 ; 2), B(1 ; -1) et C(7 ; a) où a est un nombre réel. 1. Calculer les coordonnées du vecteur AB. 2. Déterminer la valeur du réel a pour laquelle les points A, B et C sont alignés. 3. Pour cette valeur de a, les points A, B et C sont-ils alignés avec le point D(0 ; 0,5) ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs dans un repère : 7 points

1. M milieu de [AB] : x_M = (1+4)/2 = 2,5 ; y_M = (-2+3)/2 = 0,5. M(2,5 ; 0,5). 2. AB² = (4-1)² + (3 - (-2))² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34. Donc AB = √34. AC² = (-2-1)² + (5 - (-2))² = (-3)² + 7² = 9 + 49 = 58. Donc AC = √58. 3. BC² = (-2-4)² + (5-3)² = (-6)² + 2² = 36 + 4 = 40. On a AB² + BC² = 34 + 40 = 74 et AC² = 58. Comme 74 ≠ 58, le triangle n'est pas rectangle (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).

Exercice 2 — Équations de droites : 7 points

1. Coefficient directeur m = (y_E - y_D) / (x_E - x_D) = (4 - 1) / (-1 - 2) = 3 / (-3) = -1. 2. L'équation est de la forme y = -x + p. Le point D(2;1) appartient à la droite donc 1 = -2 + p, soit p = 3. Équation réduite : y = -x + 3. 3. Pour F(5 ; -2) : calculons -x_F + 3 = -5 + 3 = -2. On obtient bien y_F. Donc F appartient à (DE). 4. Une droite parallèle à (DE) a le même coefficient directeur : m = -1. Son équation est y = -x + p'. Elle passe par O(0;0) donc 0 = -0 + p', soit p' = 0. Équation de Δ : y = -x.

Exercice 3 — Problème : alignement de points : 6 points

1. Vecteur AB a pour coordonnées (x_B - x_A ; y_B - y_A) = (1 - (-3) ; -1 - 2) = (4 ; -3). 2. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Vecteur AC = (7 - (-3) ; a - 2) = (10 ; a - 2). Colinéarité : 4 * (a - 2) - (-3) * 10 = 0. Soit 4a - 8 + 30 = 0 donc 4a + 22 = 0 et a = -22/4 = -11/2 = -5,5. 3. Pour a = -5,5, C(7 ; -5,5). Vérifions l'alignement de A, B et D. Vecteur AD = (0 - (-3) ; 0,5 - 2) = (3 ; -1,5). AB(4 ; -3) et AD(3 ; -1,5). 4 * (-1,5) - (-3) * 3 = -6 + 9 = 3 ≠ 0. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc D n'est pas aligné avec A et B.

Comprendre, puis réessayer

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