4e · Mathématiques

Contrôle n°2 — Théorème de Pythagore et réciproque

Application du théorème de Pythagore et de sa réciproque dans des problèmes concrets de géométrie.

50min · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs d'hypoténuse et de côté (7 points)

1. Calcule la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 6 cm et 8 cm. 2. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l'angle droit mesure 5 cm. Calcule la longueur du troisième côté. 3. Un échelle de 5 m est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 1,2 m du mur. À quelle hauteur du mur l'échelle arrive-t-elle ? Donne une valeur approchée au centimètre près.

Exercice 2 — Réciproque du théorème de Pythagore (8 points)

Dans chaque cas, détermine si le triangle est rectangle. Justifie soigneusement ta réponse par un calcul. 1. Un triangle ABC avec AB = 15 cm, AC = 20 cm et BC = 25 cm. 2. Un triangle DEF avec DE = 7 cm, EF = 24 cm et DF = 25 cm. 3. Un triangle GHI avec GH = 4,5 cm, HI = 6 cm et GI = 7,5 cm. 4. Un triangle JKL avec JK = 10 cm, KL = 11 cm et JL = 15 cm.

Exercice 3 — Problème de distance (5 points)

Sur une carte, deux villes A et B sont distantes de 8 cm. Une troisième ville C est à 6 cm de A et à 4,5 cm de B sur cette carte. L'échelle de la carte est 1/200 000. 1. Calcule les distances réelles AB, AC et BC en kilomètrès. 2. Le triangle formé par les trois villes est-il rectangle ? Justifie ta réponse en utilisant les distances réelles.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs d'hypoténuse et de côté : 7 points

1. Soit c l'hypoténuse. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 donc c = √100 = 10 cm. 2. Soit x le côté cherché. x² + 5² = 13² → x² = 169 - 25 = 144 → x = √144 = 12 cm. 3. Soit h la hauteur. h² + 1,2² = 5² → h² = 25 - 1,44 = 23,56 → h = √23,56 ≈ 4,85 m. L'échelle arrive à environ 4,85 m de haut.

Exercice 2 — Réciproque du théorème de Pythagore : 8 points

1. On calcule : 15² + 20² = 225 + 400 = 625. Et 25² = 625. Donc AB² + AC² = BC². D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2. 7² + 24² = 49 + 576 = 625. 25² = 625. Donc DE² + EF² = DF². Le triangle DEF est rectangle en E. 3. 4,5² + 6² = 20,25 + 36 = 56,25. 7,5² = 56,25. Donc GH² + HI² = GI². Le triangle GHI est rectangle en H. 4. 10² + 11² = 100 + 121 = 221. 15² = 225. 221 ≠ 225. Donc JK² + KL² ≠ JL². Le triangle JKL n'est pas rectangle.

Exercice 3 — Problème de distance : 5 points

1. Distance réelle = distance carte × 200 000. AB = 8 × 200 000 = 1 600 000 cm = 16 km. AC = 6 × 200 000 = 1 200 000 cm = 12 km. BC = 4,5 × 200 000 = 900 000 cm = 9 km. 2. On cherche si AB² = AC² + BC² ? AC² + BC² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. AB² = 16² = 256. 225 ≠ 256 donc AB² ≠ AC² + BC². Le triangle n'est pas rectangle.

Comprendre, puis réessayer

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