3e · Mathématiques

Contrôle n°2 — Théorème de Pythagore et trigonométrie

Application du théorème de Pythagore et des formules de trigonométrie (cos, sin, tan) dans des problèmes géométriques.

1h · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Pythagore : calculs et réciproque (7 points)

1. Le triangle TIC est rectangle en I. On donne TI = 5,6 cm et TC = 9,4 cm. Calcule la longueur IC. Arrondis au mm. 2. Un triangle ABC a pour côtés AB = 65 mm, AC = 156 mm et BC = 169 mm. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, précise en quel sommet. Justifie soigneusement.

Exercice 2 — Trigonométrie dans le triangle rectangle (7 points)

Le triangle MNP est rectangle en N. On donne MN = 8 cm et l'angle $\widehat{NMP} = 30°$. 1. Fais un schéma à main levée en reportant les données. 2. Calcule la longueur NP. Tu donneras la valeur exacte puis une valeur approchée au mm. 3. Calcule la longueur MP. Tu donneras la valeur exacte puis une valeur approchée au mm. Rappel : $\sin(30°) = 0,5$ ; $\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$ ; $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577$.

Exercice 3 — Problème : Échelle contre un mur (6 points)

Une échelle de 5 mètrès de long est posée contre un mur vertical. Le pied de l'échelle est à 1,5 mètre du mur. 1. Fais un schéma en situation. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. 2. Calcule la hauteur à laquelle l'échelle arrive sur le mur. Donne un arrondi au cm. 3. Calcule la mesure de l'angle que fait l'échelle avec le sol. Donne un arrondi au degré.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Pythagore : calculs et réciproque : 7 points

1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle TIC rectangle en I : $TC^2 = TI^2 + IC^2$. Donc $IC^2 = TC^2 - TI^2 = 9,4^2 - 5,6^2 = 88,36 - 31,36 = 57$. $IC = \sqrt{57} \approx 7,5$ cm. 2. Le plus grand côté est BC = 169 mm. $BC^2 = 169^2 = 28561$. $AB^2 + AC^2 = 65^2 + 156^2 = 4225 + 24336 = 28561$. On a bien $BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Exercice 2 — Trigonométrie dans le triangle rectangle : 7 points

1. Schéma : triangle rectangle en N, angle de 30° en M. 2. Dans le triangle MNP rectangle en N, pour l'angle de 30° en M, le côté opposé est NP et l'hypoténuse est MP. On a $\sin(30°) = \frac{NP}{MP}$. On ne connaît pas MP. Utilisons la tangente : $\tan(30°) = \frac{NP}{MN}$. Donc $NP = MN \times \tan(30°) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm. Valeur approchée : $\approx 4,6$ cm. 3. Avec le cosinus : $\cos(30°) = \frac{MN}{MP}$. Donc $MP = \frac{MN}{\cos(30°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ cm. Valeur approchée : $\approx 9,2$ cm.

Exercice 3 — Problème : Échelle contre un mur : 6 points

1. Schéma : triangle rectangle avec l'hypoténuse (échelle) = 5 m, un côté de l'angle droit (distance au mur) = 1,5 m, l'autre côté (hauteur sur le mur) à calculer. 2. Notons h la hauteur. D'après Pythagore : $5^2 = 1,5^2 + h^2$. Donc $h^2 = 25 - 2,25 = 22,75$. $h = \sqrt{22,75} \approx 4,77$ m. 3. Soit α l'angle avec le sol. On a $\cos(α) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{1,5}{5} = 0,3$. Donc $α \approx \arccos(0,3) \approx 73°$ (arrondi).

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