3e · Mathématiques

Contrôle n°4 — Fonctions affines et linéaires

Lecture graphique, détermination d'expressions algébriques et utilisation des fonctions pour modéliser des situations.

1h · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

Entraînement généré par IA — vérification pédagogique complète non acquise.

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Lecture graphique et tracé (8 points)

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = -2x + 3$ et $g(x) = 0,5x - 1$. 1. $f$ et $g$ sont-elles des fonctions affines ? Si oui, précise leur coefficient directeur et leur ordonnée à l'origine. 2. Représente graphiquement ces deux fonctions dans un repère orthogonal (tu prendras 1 cm pour 1 unité en abscisse et en ordonnée). Place au moins deux points par droite. 3. Par lecture graphique, détermine les coordonnées du point d'intersection des deux droites. Vérifie ton résultat par le calcul.

Exercice 2 — Problème : Location de trottinettes (7 points)

Deux sociétés de location de trottinettes électriques proposent les tarifs suivants pour une journée : - Société RAPID : 5 € de frais fixes puis 0,15 € par minute d'utilisation. - Société ZOOM : 2 € de frais fixes puis 0,20 € par minute d'utilisation. On note x le nombre de minutes d'utilisation dans la journée, et R(x) le prix à payer chez RAPID, Z(x) le prix à payer chez ZOOM. 1. Donne les expressions de R(x) et Z(x). 2. Représente graphiquement ces deux fonctions dans un même repère (prends 1 cm pour 10 min en abscisse et 1 cm pour 1 € en ordonnée). 3. Léo prévoit d'utiliser une trottinette pendant 1 heure. Quelle société doit-il choisir ? 4. Résous l'inéquation R(x) < Z(x). Interprète le résultat en termes de durée d'utilisation.

Exercice 3 — Image, antécédent et variations (5 points)

Soit la fonction h définie par $h(x) = -3x + 4$. 1. Calcule l'image de 2 par h. Calcule l'image de -1 par h. 2. Détermine l'antécédent de 10 par h. Détermine l'antécédent de -5 par h. 3. Cette fonction est-elle croissante ou décroissante sur ℝ ? Justifie ta réponse. 4. Complète : Si x augmente, alors h(x) ... 5. Place les points A(2 ; h(2)) et B(-1 ; h(-1)) dans un repère. Que remarques-tu concernant leur alignement avec l'origine du repère ?

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Lecture graphique et tracé : 8 points

1. Oui, ce sont des fonctions affines. Pour f : coeff. directeur = -2, ordonnée à l'origine = 3. Pour g : coeff. directeur = 0,5, ordonnée à l'origine = -1. 2. Représentation graphique. Pour f : points (0;3) et (1;1). Pour g : points (0;-1) et (2;0). 3. Graphiquement, le point d'intersection semble être (1,6 ; -0,2). Par le calcul : on résout f(x)=g(x). $-2x+3 = 0,5x -1 \iff -2x -0,5x = -1 -3 \iff -2,5x = -4 \iff x = 1,6$. Puis $f(1,6) = -2*1,6+3 = -3,2+3 = -0,2$. Le point d'intersection est bien (1,6 ; -0,2).

Exercice 2 — Problème : Location de trottinettes : 7 points

1. $R(x) = 5 + 0,15x$ et $Z(x) = 2 + 0,20x$ (x en minutes, prix en €). 2. Graphique : R est une droite passant par (0;5) et (60;14). Z est une droite passant par (0;2) et (60;14). Elles se coupent en (60;14). 3. 1 heure = 60 minutes. $R(60)=5+9=14€$. $Z(60)=2+12=14€$. Les deux tarifs sont identiques pour 1h. 4. $5 + 0,15x < 2 + 0,20x \iff 5-2 < 0,20x - 0,15x \iff 3 < 0,05x \iff x > 60$. Pour une utilisation supérieure à 60 minutes, RAPID (0,15€/min) devient plus avantageux que ZOOM (0,20€/min).

Exercice 3 — Image, antécédent et variations : 5 points

1. $h(2) = -3\times2 + 4 = -6+4 = -2$. $h(-1) = -3\times(-1) + 4 = 3+4=7$. 2. On résout h(x)=10 : $-3x+4=10 \iff -3x=6 \iff x=-2$. L'antécédent de 10 est -2. On résout h(x)=-5 : $-3x+4=-5 \iff -3x=-9 \iff x=3$. L'antécédent de -5 est 3. 3. Le coefficient directeur est -3, il est négatif. Donc la fonction h est décroissante sur ℝ. 4. Si x augmente, alors h(x) diminue. 5. A(2 ; -2) et B(-1 ; 7). Ces points sont alignés avec l'origine ? Non, car la droite représentative de h ne passe pas par (0;0) (son ordonnée à l'origine est 4).

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