3e · Mathématiques

Contrôle n°5 — Arithmétique et calculs numériques

Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, calculs avec puissances et notation scientifique.

50min · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Nombres premiers et décomposition (8 points)

1. Parmi les nombres suivants, entoure ceux qui sont premiers : 21, 17, 39, 41, 57, 83. 2. Décompose 1260 en produit de facteurs premiers. 3. Déduis de la question précédente : a) La décomposition en facteurs premiers de 126. b) Un diviseur de 1260 différent de 1 et 1260. c) Le plus petit nombre entier par lequel il faut multiplier 1260 pour obtenir un carré parfait.

Exercice 2 — Calculs avec puissances (7 points)

Calcule et donne le résultat sous la forme d'une puissance d'un nombre entier ou d'un nombre décimal. 1. $7^3 \times 7^5$ 2. $\dfrac{4^{10}}{4^7}$ 3. $(2^4)^3$ 4. $10^5 \times 10^{-2}$ 5. $\dfrac{3^2 \times 3^4 \times 9}{27}$ (Indice : écris 9 et 27 sous forme de puissances de 3) 6. $2^3 + 2^3$ (Attention, ce n'est pas une multiplication !)

Exercice 3 — Notation scientifique et ordre de grandeur (5 points)

1. Donne la notation scientifique des nombres suivants : a) 725 000 b) 0,004 56 c) 12,3 $\times 10^5$ 2. La distance Terre-Soleil est d'environ 150 millions de kilomètrès. a. Exprime cette distance en mètrès en utilisant la notation scientifique. b. La lumière parcourt 300 000 kilomètrès par seconde. Calcule le temps (en secondes) que met la lumière du Soleil pour nous parvenir. Donne le résultat en notation scientifique.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Nombres premiers et décomposition : 8 points

1. Nombres premiers : 17, 41, 83. (21=3x7, 39=3x13, 57=3x19). 2. $1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$. Méthode : 1260/2=630, 630/2=315, 315/3=105, 105/3=35, 35/5=7, 7/7=1. 3. a) $126 = 1260 / 10 = 1260 / (2\times5) = (2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7) / (2\times5) = 2 \times 3^2 \times 7$. b) Par exemple 2, 3, 4 (2^2), 5, 6 (2x3), 7, 9 (3^2), 10 (2x5), etc. c. Pour un carré parfait, tous les exposants doivent être pairs. Dans $2^2 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$, il manque un facteur 5 et un facteur 7. Il faut multiplier par 5 x 7 = 35.

Exercice 2 — Calculs avec puissances : 7 points

1. $7^3 \times 7^5 = 7^{3+5} = 7^8$ 2. $\dfrac{4^{10}}{4^7} = 4^{10-7} = 4^3$ 3. $(2^4)^3 = 2^{4\times3} = 2^{12}$ 4. $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$ 5. $9 = 3^2$ et $27=3^3$. $\dfrac{3^2 \times 3^4 \times 3^2}{3^3} = \dfrac{3^{2+4+2}}{3^3} = \dfrac{3^8}{3^3} = 3^{8-3} = 3^5$ 6. $2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4$.

Exercice 3 — Notation scientifique et ordre de grandeur : 5 points

1. a) $725 000 = 7,25 \times 10^5$ b) $0,004 56 = 4,56 \times 10^{-3}$ c) $12,3 \times 10^5 = 1,23 \times 10 \times 10^5 = 1,23 \times 10^6$ 2. a. 150 millions de km = $150 \times 10^6$ km = $1,5 \times 10^8$ km. En mètrès : $1,5 \times 10^8 \times 10^3 = 1,5 \times 10^{11}$ m. b. Vitesse lumière : $300 000$ km/s = $3 \times 10^5$ km/s. Temps = distance / vitesse = $(1,5 \times 10^8) / (3 \times 10^5) = 0,5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}$ secondes. Soit environ 500 secondes.

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