Terminale · Mathématiques, spécialité

Contrôle n°5 — Géométrie dans l'espace

Ce devoir évalue la maîtrise des vecteurs, droites, plans et produits scalaires dans l'espace.

1h30 · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Représentation paramétrique et intersection (8 points)

Dans un repère orthonormé (O, i, j, k), on donne les points A(1;0;2), B(3;2;0), C(0;1;1) et D(2;-1;3). 1. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 3. Donner une représentation paramétrique de la droite (CD). 4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection I de la droite (CD) avec le plan (ABC).

Exercice 2 — Orthogonalité et distance (7 points)

On considère les points E(1;2;3), F(4;1;5) et G(2;4;1). 1. Calculer les coordonnées du vecteur EF ∧ EG. 2. En déduire l'aire du triangle EFG. 3. Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E. 4. Calculer la distance du point H(0;0;0) au plan (EFG).

Exercice 3 — Sphère et plan tangent (5 points)

On considère la sphère S de centre Ω(1; -2; 3) et de rayon R = 5, et le plan P d'équation 2x - y + 2z + 1 = 0. 1. Calculer la distance du centre Ω au plan P. 2. En déduire la position relative de la sphère S et du plan P (sécant, tangent, disjoint). 3. Si le plan coupe la sphère, calculer le rayon du cercle d'intersection.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Représentation paramétrique et intersection : 8 points

1. Vecteurs AB(2;2;-2) et AC(-1;1;-1). Ils ne sont pas colinéaires (les coordonnées ne sont pas proportionnelles). Donc A, B, C non alignés. 2. Un vecteur normal n au plan est orthogonal à AB et AC. n = AB ∧ AC = (2;2;-2) ∧ (-1;1;-1) = ( (2×(-1)-(-2×1)) ; (-2×(-1)-2×(-1)) ; (2×1-2×(-1)) ) = (0 ; 4 ; 4). On peut prendre n(0;1;1). Équation : 0*(x-1) + 1*(y-0) + 1*(z-2)=0 soit y + z - 2 = 0. 3. CD(2;-2;2) est un vecteur directeur. Paramétrique de (CD) : x = 0 + 2t ; y = 1 - 2t ; z = 1 + 2t, t ∈ ℝ. 4. On substitue dans l'équation du plan : (1-2t) + (1+2t) - 2 = 0 ⇒ 0 = 0, toujours vrai. Cela signifie que la droite (CD) est incluse dans le plan (ABC). Il n'y a pas un unique point d'intersection, la droite est contenue dans le plan.

Exercice 2 — Orthogonalité et distance : 7 points

1. EF(3;-1;2), EG(1;2;-2). EF ∧ EG = ( (-1×(-2)-2×2) ; (2×1-3×(-2)) ; (3×2-(-1×1)) ) = (2-4 ; 2+6 ; 6+1) = (-2 ; 8 ; 7). 2. Aire(EFG) = (1/2) ||EF ∧ EG|| = (1/2) √( (-2)² + 8² + 7² ) = (1/2) √(4+64+49) = (1/2)√117 u.a. 3. On calcule EF · EG = 3×1 + (-1)×2 + 2×(-2) = 3 - 2 - 4 = -3. Ce produit scalaire n'est pas nul, donc l'angle en E n'est pas droit. L'énoncé semble contenir une erreur. Vérifions en F : FE(-3;1;-2), FG(-2;3;-4). FE · FG = (-3)×(-2)+1×3+(-2)×(-4)=6+3+8=17 ≠0. En G : GE(-1;-2;2), GF(2;-3;4). GE · GF = (-1)×2+(-2)×(-3)+2×4 = -2+6+8=12 ≠0. Le triangle n'est rectangle en aucun sommet. 4. Un vecteur normal au plan est n = EF ∧ EG = (-2;8;7). Équation du plan : -2(x-1)+8(y-2)+7(z-3)=0 ⇔ -2x+8y+7z -2 -16 -21=0 ⇔ -2x+8y+7z -39=0. Distance(H, plan) = | -2×0+8×0+7×0 -39 | / √( (-2)²+8²+7² ) = 39 / √(4+64+49) = 39/√117 = 39/(3√13) = 13/√13 = √13.

Exercice 3 — Sphère et plan tangent : 5 points

1. Distance d(Ω, P) = | 2×1 - (-2) + 2×3 + 1 | / √(2²+(-1)²+2²) = |2 + 2 + 6 + 1| / √(4+1+4) = 11 / √9 = 11/3 ≈ 3,67. 2. Le rayon de la sphère est R=5. On a d(Ω, P) ≈ 3,67 < 5. Donc le plan P coupe la sphère S selon un cercle. 3. Dans le triangle rectangle formé par le centre Ω, le centre du cercle (projection de Ω sur P) et un point du cercle, on a R_sphère² = d² + r_cercle². Donc r² = R² - d² = 25 - (121/9) = (225/9 - 121/9) = 104/9. Ainsi r = √(104/9) = (2√26)/3.

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