Terminale · Mathématiques complémentaires

Contrôle n°5 — Matrices et systèmes linéaires

Ce dernier contrôle de l'année porte sur le calcul matriciel (produit, inverse) et la résolution de systèmes linéaires par la méthode du pivot de Gauss.

1h30 · Difficile · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calcul matriciel (8 points)

On donne les matrices A = [[1, 2], [0, -1]], B = [[2, 0], [1, 3]] et C = [[5, 6], [3, 4]]. 1. Calculer A×B et B×A. Le produit matriciel est-il commutatif ? 2. Déterminer, si elle existe, la matrice X de taille 2×2 vérifiant A×X = C.

Exercice 2 — Résolution de systèmes par pivot de Gauss (7 points)

Résoudre le système linéaire suivant en utilisant la méthode du pivot de Gauss. Discuter de l'existence et de l'unicité des solutions. (S) : { 2x + y - z = 1 ; x - y + 2z = 2 ; 3x + 3z = 4 }

Exercice 3 — Application à un problème concret (5 points)

Un restaurant propose trois formules : Formule A (entrée+plat), Formule B (plat+dessert), Formule C (entrée+plat+dessert). Un jour, il a servi 120 formules pour un chiffre d'affaires de 3400€. On sait que la Formule A coûte 25€, la B 30€ et la C 40€. De plus, le nombre de formules B servies est égal au nombre de formules C. Déterminer le nombre de formules de chaque type servies ce jour-là en modélisant le problème par un système linéaire.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calcul matriciel : 8 points

1. A×B = [[1×2+2×1, 1×0+2×3], [0×2+(-1)×1, 0×0+(-1)×3]] = [[4, 6], [-1, -3]]. B×A = [[2×1+0×0, 2×2+0×(-1)], [1×1+3×0, 1×2+3×(-1)]] = [[2, 4], [1, -1]]. A×B ≠ B×A, donc le produit matriciel n'est pas commutatif. 2. A est inversible car det(A)=1×(-1)-2×0 = -1 ≠ 0. Son inverse est A⁻¹ = (1/-1) × [[-1, -2], [0, 1]] = [[1, 2], [0, -1]]. L'équation A×X=C équivaut à X = A⁻¹×C = [[1, 2], [0, -1]] × [[5,6],[3,4]] = [[1×5+2×3, 1×6+2×4], [0×5+(-1)×3, 0×6+(-1)×4]] = [[11, 14], [-3, -4]].

Exercice 2 — Résolution de systèmes par pivot de Gauss : 7 points

On écrit la matrice augmentée : [[2, 1, -1, 1], [1, -1, 2, 2], [3, 0, 3, 4]]. L2 ↔ L1 pour avoir un pivot 1 : [[1, -1, 2, 2], [2, 1, -1, 1], [3, 0, 3, 4]]. L2 ← L2 - 2L1 : [[1, -1, 2, 2], [0, 3, -5, -3], [3, 0, 3, 4]]. L3 ← L3 - 3L1 : [[1, -1, 2, 2], [0, 3, -5, -3], [0, 3, -3, -2]]. L3 ← L3 - L2 : [[1, -1, 2, 2], [0, 3, -5, -3], [0, 0, 2, 1]]. Le système est triangulaire : 2z=1 ⇒ z=0.5 ; 3y -5×0.5 = -3 ⇒ 3y = -3+2.5=-0.5 ⇒ y=-1/6 ; x - (-1/6) + 2×0.5=2 ⇒ x + 1/6 + 1 = 2 ⇒ x = 2 - 1 - 1/6 = 5/6. Solution unique : (5/6 ; -1/6 ; 1/2).

Exercice 3 — Application à un problème concret : 5 points

Notons x, y, z les nombres de formules A, B, C. D'après l'énoncé : (1) x + y + z = 120 (nombre total de formules) (2) 25x + 30y + 40z = 3400 (chiffre d'affaires) (3) y = z On substitue y par z dans (1) et (2) : (1') x + 2z = 120 (2') 25x + 30z + 40z = 25x + 70z = 3400 De (1'), x = 120 - 2z. On injecte dans (2') : 25(120-2z) + 70z = 3400 ⇒ 3000 - 50z + 70z = 3400 ⇒ 20z = 400 ⇒ z = 20. Alors y = 20 et x = 120 - 40 = 80. Vérification : 25×80 + 30×20 + 40×20 = 2000+600+800=3400. Il a servi 80 formules A, 20 formules B et 20 formules C.

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