Seconde · Mathématiques

Contrôle n°5 — Trigonométrie dans le triangle rectangle

Ce devoir évalue l'utilisation des formules de trigonométrie (sinus, cosinus, tangente) pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.

50min · Moyen · 3 exercices · Barème sur 20 points

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Sujet

Travaille d’abord sans consulter le corrigé. Note tes réponses et les étapes de ton raisonnement.

Exercice 1 — Calculs de base (8 points)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et BC = 13 cm. 1. Faire une figure en vraie grandeur. 2. Calculer la longueur AC. 3. Calculer la mesure de l'angle ABC (arrondie au degré près). 4. Calculer la mesure de l'angle ACB (par deux méthodes différentes).

Exercice 2 — Utilisation de la tangente (6 points)

DEF est un triangle rectangle en D. On donne DE = 7 cm et EF = 25 cm. 1. Calculer la longueur DF. 2. Calculer la valeur exacte de tan(E). 3. En déduire la mesure de l'angle E, arrondie au degré près.

Exercice 3 — Problème : hauteur d'un arbre (6 points)

Pour estimer la hauteur d'un arbre, Léa se place à 15 mètrès de son pied. Elle vise la cime de l'arbre et mesure un angle de 40° entre l'horizontale et sa ligne de visée. Sachant que ses yeux sont à 1,60 m du sol, on modélise la situation par le schéma ci-contre où [AB] est l'arbre, C le point où se trouve Léa et H la projection de ses yeux sur le sol. (Description : Triangle rectangle AHC rectangle en H, avec AH la hauteur de l'arbre au-dessus des yeux de Léa, HC = 15 m et l'angle ACH = 40°.) 1. Calculer la longueur AH (arrondie au dixième de mètre). 2. En déduire la hauteur totale AB de l'arbre.

Corrigé et barème

Le total du barème est de 20 points. Les réponses rédigées admettent plusieurs formulations pertinentes ; compare le raisonnement, pas seulement les mots.

Exercice 1 — Calculs de base : 8 points

1. Figure à réaliser par l'eleve. 2. D'après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC². Donc AC² = BC² - AB² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144. AC = √144 = 12 cm. 3. Dans le triangle rectangle en A, cos(ABC) = côté adjacent / hypoténuse = AB / BC = 5/13. Donc ABC = arccos(5/13) ≈ 67° (arrondi). 4. Méthode 1 : ACB = 90° - ABC ≈ 90 - 67 = 23°. Méthode 2 : sin(ACB) = AB / BC = 5/13, donc ACB = arcsin(5/13) ≈ 23°.

Exercice 2 — Utilisation de la tangente : 6 points

1. Dans le triangle rectangle en D, EF est l'hypoténuse. D'après le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF². DF² = EF² - DE² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576. DF = √576 = 24 cm. 2. tan(E) = côté opposé / côté adjacent = DF / DE = 24 / 7. 3. E = arctan(24/7). À la calculatrice : E ≈ 74° (arrondi).

Exercice 3 — Problème : hauteur d'un arbre : 6 points

1. Dans le triangle rectangle AHC, on a tan(40°) = côté opposé / côté adjacent = AH / HC. Donc AH = HC * tan(40°) = 15 * tan(40°). À la calculatrice : tan(40°) ≈ 0,8391. Donc AH ≈ 15 * 0,8391 ≈ 12,5865 m. Soit AH ≈ 12,6 m (au dixième). 2. La hauteur totale de l'arbre est AB = AH + hauteur des yeux = 12,6 + 1,6 = 14,2 mètrès.

Comprendre, puis réessayer

Repère une erreur précise, explique ce qui t’a manqué et refais l’exercice sans le corrigé. Reprends la notion dans ton cours avant de passer à un autre sujet.

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